Question

已知△ABC的外接圆半径R为6，面积为S，a、b、c分别是角A、B、C的对边设．
（I）求sinA的值；
（II）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用三角形的面积公式，由b，c及sinA表示出三角形的面积S，与已知的S相等，利用完全平方公式化简后，由bc不为0，等号两边同时除以bc，得到sinA和cosA的关系式，将此等式两边平方后，再利用同角三角函数间的基本关系化为关于sinA的方程，根据sinA不为0，求出方程的解即可求出sinA的值；
（II）根据正弦定理化简，把R的值代入即可得到b+c的值，然后把第一问求出的sinA的值代入S=bcsinA中，根据基本不等式bc≤得到当且仅当b=c时，面积的最大值，但是由b=c，根据正弦定理得到sinB=sinC，再由可得sinB与sinC的值，进而利用诱导公式求出sinA的值不等于第一问求出的sinA的值，矛盾，从而得到面积不能达到此时的最大值，由R和sinA的值，利用正弦定理求出a的值，再由b+c的值，利用余弦定理表示出a²，变形后，把a与b+c的值代入求出bc的值，把sinA和求出bc的值代入S=bcsinA，即可求出面积的最大值．
解答：解：（I）由S=bcsinA，又S=a²-（b-c）²，
可得：bcsinA=a²-（b²-2bc+c²）=2bc-（b²+c²-a²）=2bc-2bccosA，又bc≠0，
变形得：，即cosA=1-sinA，
两边平方得：cos²A=（1-sinA）²，又sin²A+cos²A=1，
可得1-sin²A=1-sinA+sin²A，即sin²A-sinA=0，
又sinA≠0，
∴；
（II）由，
根据正弦定理==2R，可得，又∵R=6，∴b+c=16，
∴，当且仅当，
此时，
由a=2RsinA=2×6×=，且b+c=16，
根据余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得：bc=，
此时，
则△ABC面积的最大值为．
点评：本题考查了三角函数的恒等变形，正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．本题的第二问在利用基本不等式得到b=c时，面积达到最大，经过验证发现，b=c是不成立的，学生做题时应注意这点，不要错误认为此时面积最大．