题目内容
已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c．向量
=(a，4cosB)，
=(cosA，b)满足
∥
．
（1）求sinA+sinB的取值范围；
（2）若A∈(0，
)，且实数x满足abx=a-b，试确定x的取值范围．
| m |
| n |
| m |
| n |
（1）求sinA+sinB的取值范围；
（2）若A∈(0，
| π |
| 3 |
分析：（1）由向量平行的坐标表示及正弦定理可得4sinAsinB=4cosAcosB，然后利用两角和的余弦公式可求A+B，然后利用辅助角公式及正弦函数的性质可求
（2）由题意可得，x=
=
=
，利用换元法设t=sinA-cosA，利用同角平方关系可把2sinAcosA用t表示，结合函数的导数可判断函数的单调性进而可求取值范围
（2）由题意可得，x=
| a-b |
| ab |
| sinA-sinB |
| 2sinAsinB |
| sinA-cosA |
| 2sinAcosA |
解答：解：（1）∵
∥
由向量平行的坐标表示可得，
=
即ab=4cosAcosB
∵△ABC的外接圆半径为1
由正弦定理可得，4sinAsinB=4cosAcosB
∴cosAcosB-sinAsinB=0即cos（A+B）=0
∵0＜A+B＜π
∴A+B=
π故△ABC为直角三角形
∴sinA+sinB=sinA+cosA=
sin(A+
)
∵
＜A+
＜
∴
＜sin(A+
)≤1
∴1＜sinA+sinB≤
（2）由题意可得，x=
=
=
设t=sinA-cosA（-1＜t＜
），则2sinAcosA=1-t2
∴x=
∵=
＞0
故x=
在（-1，
）上单调递增
∴
＜
=
∴x的取值范围是x＜
| m |
| n |
由向量平行的坐标表示可得，
| a |
| cosA |
| 4cosB |
| b |
∵△ABC的外接圆半径为1
由正弦定理可得，4sinAsinB=4cosAcosB
∴cosAcosB-sinAsinB=0即cos（A+B）=0
∵0＜A+B＜π
∴A+B=
| 1 |
| 2 |
∴sinA+sinB=sinA+cosA=
| 2 |
| π |
| 4 |
∵
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
∴
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
∴1＜sinA+sinB≤
| 2 |
（2）由题意可得，x=
| a-b |
| ab |
| sinA-sinB |
| 2sinAsinB |
| sinA-cosA |
| 2sinAcosA |
设t=sinA-cosA（-1＜t＜
| ||
| 2 |
∴x=
| t |
| 1-t2 |
∵=
| 1+t2 |
| (1-t2)2 |
故x=
| t |
| 1-t2 |
| ||
| 2 |
∴
| t |
| 1-t2 |
| ||||
1-(
|
3-
| ||
| 3 |
∴x的取值范围是x＜
3-
| ||
| 3 |
点评：本题综合考查了正弦定理及和差角公式、辅助角公式、同角平方关系及函数的导数与函数的单调性的关系的综合应用
练习册系列答案
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已知△ABC的外接圆圆心为O，BC＞CA＞AB．则（ ）
A、
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B、
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C、
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D、
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