Question

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，∠ACB=90°（如图）
（1）求证：PA⊥BC；
（2）若PA=AC=BC=1，求点C到平面PAB的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出PA⊥平面ABC，由此能够证明PA⊥BC．
（2）由已知条件推导出平面PAB⊥平面ABC，过点C作CD⊥AB，交AB于点D，CD长就是点C到平面PAB的距离．由此能求出点C到平面PAB的距离．

解答： （1）证明：∵三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，
AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，∴PA⊥BC．（2）∵PA⊥平面ABC，且PA?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABC，
过点C作CD⊥AB，交AB于点D，
由直二面角的性质得CD⊥平面PAB，
∴CD长就是点C到平面PAB的距离．
在Rt△ABC中，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，
∴AB=

2

，∴CD=

1

2

AB=

2

2

．
∴点C到平面PAB的距离为

2

2

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查点到直线的距离的求法，解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题．