Question

如图，正方体棱长为1，是的中点，是的中点.

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

(1)建立空间直角坐标系来表示平面的法向量于直线的方向向量，来根据垂直关系来得到证明。(2)

试题分析：（1）证明：以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x, y, z轴，
建立空间直角坐标系，                           
则,A（1，0，0）, （1，0，1），（0，0，1），
E（1，1，），F（，1，1），
,,,       
设平面的法向量为，
则即
从而                          
，
所以                  
（2）解：设平面ADE的法向量为，，
则即从而  
由（1）知的法向量为

二面角的余弦值为.                      
点评：解决的关键是能够合理的建立空间直角坐标系，然后借助于平面的法向量以及直线的方向向量来得到垂直的证明，以及二面角的平面角的求解，属于基础题。