Question

过椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的中心的直线与椭圆交于A、B两点，F₁是椭圆的右焦点，则△ABF₁的面积的最大值为______．

Answer 1

由椭圆

x2

25

+

y2

9

=1，可得a²=25，b²=9，∴c=

a2-b2

=4．
①当AB⊥x轴时，AB为椭圆的短轴，∴S△ABF1=

1

2

|AB|•c=

1

2

×2b•c=3×4=12．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB：y=kx，（k≠0），
联立

y=kx x2 25 + y2 9 =1

，化为（9+25k²）x²=225，
解得x=±

15

9+25k2

．得到y=±

15k

9+25k2

．
∴S△ABF1=

1

2

|y1-y2|•c=

15|k|

9+25k2

×4=

60

9 k2 +25

＜

60

5

=12．
综上可知：△ABF₁的面积的最大值为12．