Question

过椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的右焦点F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，椭圆上不同的两点A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列，则弦AC的中垂线在y轴上的截距的范围是

 

．

Answer 1

分析：使用焦半径公式求得x₁+x₂的值，可以设AC的中垂线方程，代入椭圆方程，使用韦达定理；也可以用“点差法”：记AC中点M（4，y₀），将A、C两点的坐标代入椭圆方程后作差，求得AC的斜率表达式，表示出AC的中垂线方程，把x=0代入求得AC的中垂线在y轴上的截距，根据M在圆内求得y₀的范围，进而求得

16y0

9

的范围即弦AC的中垂线在y轴上的截距的范围．

解答：解：对|F₂A|+|F₂C|=

18

5

使用焦半径公式得：5-

4

5

x₁+5-

4

5

x₂=

18

5

?x₁+x₂=8．
此后，可以设AC的中垂线方程，代入椭圆方程，使用韦达定理；也可以用“点差”：记AC中点M（4，y₀），将A、C两点的坐标代入椭圆方程后作差得：
?

y1-y2

x1-x2

=-

9

25

•

x1+x2

y1+y2

，
∴k_AC=-

9

25

•

4

y0

，
于是有：AC的中垂线的方程为：
y-y₀=

25y0

36

（x-4），
当x=0时：y=-

16y0

9

，此即AC的中垂线在y轴上的截距，
∵M（4，y₀）在椭圆“内”，
∴

16

25

+

y 2 0

9

＜1，
得-

9

5

＜y₀＜

9

5

，
∴-

16

5

＜-

16y0

9

＜

16

5

．
故答案为：（-

16

5

，

16

5

）

点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的位置关系的综合．当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．