Question

15．设函数$f（x）={x^2}+\frac{2a}{x}（x≠0，a∈R）$
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）讨论a=0和a≠0，由奇偶性的定义，即可判断；
（2）求出导数，令导数大于0，可得增区间；令导数小于0，可得减区间；
（3）求得导数，对a讨论，当a≤0时，当0＜a≤1时，当1＜a＜8时，当a≥8时，运用单调性，可得最小值．

解答 解：（1）①a=0时，f（x）=x²（x≠0），
显然对定义域内的x，都有f（-x）=f（x），
此时f（x）为偶函数；   
②a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．
f（-x）=x²-$\frac{2a}{x}$≠±f（x），
∴a≠0时，f（x）为非奇非偶函数；
（2）a＞0时，f′（x）=2x-$\frac{2a}{{x}^{2}}$=$\frac{2（{x}^{3}-a）}{{x}^{2}}$，
即有f（x）的递减区间是（-∞，0）和$（0，\root{3}{a}]$，
递增区间为$[\root{3}{a}，+∞）$；
（3）由于f′（x）=2x-$\frac{2a}{{x}^{2}}$=$\frac{2（{x}^{3}-a）}{{x}^{2}}$，
①当a≤0时，f（x）在[1，2]上递增，f（x）_min=f（1）=1+2a；
②当0＜a≤1时，f（x）在[1，2]上递增，f（x）_min=f（1）=1+2a；
③当1＜a＜8时，$f{（x）_{min}}=f（\root{3}{a}）=3\root{3}{a^2}$；
④当a≥8时，f（x）在[1，2]上递减，f（x）_min=f（2）=4+a．
综上可得，$f{（x）_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{1+2a，a≤1}\\{3\root{3}{a^2}，1＜a＜8}\\{4+a，a≥8}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．