Question

20．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足下列两个条件：
（1）f（0）=0，f（1）=1；（2）对任意的实数x，y，都有f（$\frac{x+y}{2}$）=（1-a）f（x）+af（y），其中a是常数．
（Ⅰ）求a和f（-1）值；
（Ⅱ）（i）判定函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（ii）设S（n）=f（1）•f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{3}$）•f（$\frac{1}{5}$）+…+f（$\frac{1}{2n-1}$）•f（$\frac{1}{2n+1}$）（n∈N^*），若对于任意的正整数n，总有S（n）＜m恒成立，试求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用赋值法即可求a和f（-1）值；
（Ⅱ）（i）根据函数的奇偶性的定义即可判定函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（ii）先求出f（x）的表达式，结合裂项法进行求和，求出S（n）的取值范围即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）∵f（$\frac{x+y}{2}$）=（1-a）f（x）+af（y），
当y=0时，f（$\frac{1}{2}$x）=（1-a）f（x）
当x=0时，f（$\frac{1}{2}$y）=af（y），
即f（$\frac{1}{2}$x）=af（x），
即1-a=a，解得a=$\frac{1}{2}$，
则f（$\frac{x+y}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（x）+$\frac{1}{2}$f（y），
当x=-1，y=1时，f（0）=f（-1）+f（1），
即f（-1）=-1．
（Ⅱ）（i）且f（x）为奇函数，
证明：∵f（$\frac{x+y}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（x）+$\frac{1}{2}$f（y），
∴令y=-x得f（0）=$\frac{1}{2}$f（x）+$\frac{1}{2}$f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），
则f（x）为奇函数；
（ii）∵f（$\frac{x+y}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（x）+$\frac{1}{2}$f（y），
∴令y=0得f（$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（x）+$\frac{1}{2}$f（0）=$\frac{1}{2}$f（x），
即f（x）=2f（$\frac{x}{2}$），
则f（x+y）=2f（$\frac{x+y}{2}$）=f（x）+f（y），
则f（$\frac{1}{n}$）=f（1-$\frac{n-1}{n}$）=f（1）+f（1-$\frac{n-1}{n}$）=f（1）-f（$\frac{n-1}{n}$）=f（1）-[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）]=f（1）-[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$）-f（$\frac{n-3}{n}$）]=…=f（1）-（n-1）f（$\frac{1}{n}$），
即nf（$\frac{1}{n}$）=f（1），
∴f（$\frac{1}{n}$）=$\frac{f（1）}{n}$=$\frac{1}{n}$，
∴f（1）•f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{3}$）•f（$\frac{1}{5}$）+…+f（$\frac{1}{2n-1}$）•f（$\frac{1}{2n+1}$）=1•$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$•$\frac{1}{2n+1}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$，
即S（n）$＜\frac{1}{2}$，
∵若对于任意的正整数n，总有S（n）＜m恒成立，
∴m≥$\frac{1}{2}$，即m的最小值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查抽象函数的应用以及数列求和，根据抽象函数的关系求出函数f（x）的解析式是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．