题目内容

若f（1，1）=1234，f（x，y）=k，f（x，y+1）=k-3，则f（1，2012）=（ ）
A．-4799
B．-6033
C．1235
D．2012
【答案】分析：根据题意可得f（x，y+1）=k-3=f（x，y）-3，从而f（x，y+1）-f（x，y）=-3，利用等差数列的定义可以看出数列{f（1，n）}是首项为f（1，1）=1234，公差为-3的等差数列，利用等差数列的通项公式得出f（1，n），从而得出f（1，2012）的值．
解答：解：∵f（x，y+1）=k-3=f（x，y）-3
∴f（x，y+1）-f（x，y）=-3
可以看出数列{f（1，n）}是首项为f（1，1）=1234，公差为-3的等差数列，
∴f（1，n）=1234+（n-1）（-3）=-3n+1237，
∴f（1，2012）=-3×2012+1237=-4799．
故选A．
点评：本题主要考查了简单的合情推理，考查了等差数列的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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若a是实常数，函数f（x）对于任何的非零实数x都有f(
1
x
)=af(x)-x-1，且f（1）=1，则函数F（x）=f（x）（x∈D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}）的取值范围是
[
1
2
+
3
4
，+∞)
[
1
2
+
3
4
，+∞)
．
已知函数f（x）=x2-ax，g（x）=lnx
（1）若f（x）≥g（x）对于定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2且x1∈（0，
1
2
），求证：h（x1）-h（x2）＞
3
4
-ln2；
（3）设r（x）=f（x）+g（
1+ax
2
），若对任意的a∈（1，2），总存在x0∈[
1
2
，1]，使不等式r（x0）＞k（1-a2）成立，求实数k的取值范围．
（理）设α∈（0，π），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，对定义域内任意的x，y，满足f（
x+y
2
）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
（1）试用α表示f（
1
2
），并在f（
1
2
）时求出α的值；
（2）试用α表示f（
1
4
），并求出α的值；
（3）n∈N时，an=
1
2n
，求f（an），并猜测x∈[0，1]时，f（x）的表达式．
（文）已知向量
OA
=(3，-4)，
OB
=(6，-3)，
OC
=（5-m，-3-m）
（1）若点A、B、C不能构成三角形，求实数m应满足的条件．
（2）若△ABC为直角三角形，求m的取值范围．
已知定义域为[0，1]的函数f （x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f （x）的最大值；
（3）试证明：当x∈(
1
4
，
1
2
]时，f（x）＜2x．
已知函数f（x）=lnx，g(x)=
1
2
ax+b．
（Ⅰ）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式；
（Ⅱ）若φ(x)=
m(x-1)
x+1
-f(x)在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）证明不等式：
2n
n+1
＜
1
ln2
+
1
ln3
+
1
ln4
+…+
1
ln(n+1)
＜
n
2
+1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．

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