题目内容
若a是实常数，函数f（x）对于任何的非零实数x都有f(
)=af(x)-x-1，且f（1）=1，则函数F（x）=f（x）（x∈D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}）的取值范围是
| 1 |
| x |
[
+
，+∞)
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
[
+
，+∞)
．| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
分析：利用题中函数等式，以
代替x得f(x)=af(
)-
-1，与原式联解得到(a2-1)f(x)=ax+
+a+1，结合f（1）=1解出f（x）=
+
+
．由此得到不等式f（x）≥x即
+
+
≥x，解之得x∈（0，1]，函数即为F（x）=f（x）的定义域D．最后利用基本不等式，求F（x）=
+
+
，x∈（0，1]时的最小值，即可得到本题的取值范围．
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
| 3x |
| 8 |
| 1 |
| 8x |
| 1 |
| 2 |
| 3x |
| 8 |
| 1 |
| 8x |
| 1 |
| 2 |
| 3x |
| 8 |
| 1 |
| 8x |
| 1 |
| 2 |
解答：解：∵函数f（x）满足f(
)=af(x)-x-1，（x≠0）
∴以
代替x，得f(x)=af(
)-
-1，
两式联解，得(a2-1)f(x)=ax+
+a+1
∵f（1）=1，∴令x=1，得a2-1=a+1+a+1，解之得a=3或-1（-1不符合题意，舍去）
因此，f（x）=
+
+
，不等式f（x）≥x即
+
+
≥x
化简得5x2-4x-1≤0，解之得-
≤x≤1
∴集合D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}=（0，1]
而F（x）=f（x），即F（x）=
+
+
，x∈（0，1]
∵x＞0，可得
+
≥2
=
∴F（x）=
+
+
的最小值为
+
，当且仅当
=
=
，即x=
时取最小值
综上所述，F（x）=
+
+
，x∈（0，1]的最小值是f（
）=
+
，没有最大值．
∴函数F（x）=f（x）（x∈D}）的取值范围是[
+
，+∞)
故答案为：[
+
，+∞)
| 1 |
| x |
∴以
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
两式联解，得(a2-1)f(x)=ax+
| 1 |
| x |
∵f（1）=1，∴令x=1，得a2-1=a+1+a+1，解之得a=3或-1（-1不符合题意，舍去）
因此，f（x）=
| 3x |
| 8 |
| 1 |
| 8x |
| 1 |
| 2 |
| 3x |
| 8 |
| 1 |
| 8x |
| 1 |
| 2 |
化简得5x2-4x-1≤0，解之得-
| 1 |
| 5 |
∴集合D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}=（0，1]
而F（x）=f（x），即F（x）=
| 3x |
| 8 |
| 1 |
| 8x |
| 1 |
| 2 |
∵x＞0，可得
| 3x |
| 8 |
| 1 |
| 8x |
|
| ||
| 4 |
∴F（x）=
| 3x |
| 8 |
| 1 |
| 8x |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| 3x |
| 8 |
| 1 |
| 8x |
| ||
| 8 |
| ||
| 3 |
综上所述，F（x）=
| 3x |
| 8 |
| 1 |
| 8x |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
∴函数F（x）=f（x）（x∈D}）的取值范围是[
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
故答案为：[
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
点评：本题给出函数等式，在已知f（1）=1的情况下求函数的表达式，并依此求函数F（x）=f（x）在区间（0，1]上的值域．着重考查了函数解析式的求法、一元二次不等式的解法和利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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，且f（1）=1，则函数F（x）=f（x）（x∈D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}）的取值范围是 ．