Question

已知函数f（x）=lnx，g(x)=

1

2

ax+b．
（Ⅰ）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式；
（Ⅱ）若φ(x)=

m(x-1)

x+1

-f(x)在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）证明不等式：

2n

n+1

＜

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

ln(n+1)

＜

n

2

+1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，利用f（x）与g（x）在x=1处相切，可求g（x）的表达式；
（Ⅱ）φ(x)=

m(x-1)

x+1

-f(x)在[1，+∞）上是减函数，可得导函数小于等于0在[1，+∞）上恒成立，分离参数，利用基本不等式，可求实数m的取值范围；
（Ⅲ）当x≥2时，证明2(

1

x-1

-

1

x

)＜

1

lnx

，当x＞1时，证明

1

lnx

＜

1

2

•

x+1

x-1

，利用叠加法，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）解：∵f（x）=lnx，∴f′(x)=

1

x

，∴f′(1)=1=

1

2

a，得：a=2------------------（2分）
又∵g(1)=0=

1

2

a+b，∴b=-1，∴g（x）=x-1；----------------（3分）
（Ⅱ）解：∵φ(x)=

m(x-1)

x+1

-f(x)=

m(x-1)

x+1

-lnx在[1，+∞）上是减函数，∴ϕ′(x)=

-x2+(2m-2)x-1

x(x+1)2

≤0在[1，+∞）上恒成立．------------------（5分）
即x²-（2m-2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，由2m-2≤x+

1

x

，x∈[1，+∞），
∵x+

1

x

∈[2，+∞)，∴2m-2≤2得m≤2；------------------（6分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可得：当x≥2时，lnx＜x-1≤

x

2

(x-1)，
∴lnx＜

1

2

x(x-1)得：

2

x(x-1)

＜

1

lnx

，∴2(

1

x-1

-

1

x

)＜

1

lnx

，------------------（8分）
∴当x=2时，2(

1

1

-

1

2

)＜

1

ln2

；当x=3时，2(

1

2

-

1

3

)＜

1

ln3

；当x=4时，2(

1

3

-

1

4

)＜

1

ln4

，…，当x=n+1时，2(

1

n

-

1

n+1

)＜

1

ln(n+1)

，n∈N₊，n≥2
上述不等式相加得：2(1-

1

n+1

)＜

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

ln(n+1)

即：

2n

n+1

＜

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

ln(n+1)

①------------------（9分）
由（Ⅱ）可得：当m=2时，ϕ（x）=

2(x-1)

x+1

-lnx在[1，+∞）上是减函数，∴当x＞1时，ϕ（x）＜ϕ（1）=0，即

2(x-1)

x+1

-lnx＜0，
所以lnx＞

2(x-1)

x+1

，从而得到

1

lnx

＜

1

2

•

x+1

x-1

．-----------------（11分）
当x=2时，

1

ln2

＜

1

2

•

3

1

；当x=3时，

1

ln3

＜

1

2

•

4

2

；当x=4时，

1

ln4

＜

1

2

•

5

3

，…，当x=n+1时，

1

ln(n+1)

＜

1

2

•

n+2

n

，n∈N₊，n≥2
上述不等式相加得：

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

ln(n+1)

＜

1

2

(

3

1

+

4

2

+

5

3

+…+

n+2

n

)=

1

2

(n+

2

1

+

2

2

+

2

3

+…+

2

n

)=

n

2

+1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

即

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

ln(n+1)

＜

n

2

+1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

②
综上：

2n

n+1

＜

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

ln(n+1)

＜

n

2

+1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（n∈N₊，n≥2）------------------（12分）

点评：本题考查不等式的证明，考查导数知识的运用，考查基本不等式的运用，考查叠加法，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．