Question

（本题满分15分）已知，是平面上的两个定点，动点满足．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）已知圆方程为，过圆上任意一点作圆的切线，切线与（1）中的轨迹交于，两点，为坐标原点，设为的中点，求长度的取值范围．

Answer 1

（1） ；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆定义知点的轨迹为焦点在轴上的椭圆且，，，

故动点的轨迹方程为；（2）若直线斜率不存在，则直线方程为，

则，若直线斜率存在，设直线方程为，由 ，又直线与圆相切，则

，所以再对k进行分类讨论即可求得长度的取值范围

试题解析：（1）由题意知，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆， 2分

且，，，

∴动点的轨迹方程为 5分

（2）若直线斜率不存在，则直线方程为，

此时， 6分

若直线斜率存在，设直线方程为，，

联立，得：

∴ 8分

∴∴ 9分

∵直线与圆相切，∴，即 11分

∴

当时，

当时，， 14分

当且仅当时，等号成立 ∴ 15分

考点：圆锥曲线的综合应用