Question

已知等差数列{a_n}，公差d＞0，a₁+a₂+a₃=6，且a₃-a₁，2a₂，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

an

2n

，求证：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和等比数列的性质求出等差数列的首项和公差，由此能求出{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由b_n=

an

2n

=

n

2n

，利用错位相减法能证明b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2．

解答： （Ⅰ）解：∵等差数列{a_n}，公差d＞0，a₁+a₂+a₃=6，且a₃-a₁，2a₂，a₈成等比数列，
∴

3a2=6 (2a2)2=2d(a2+6d) d＞0

．
解得a₁=1，d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（Ⅱ）证明：∵b_n=

an

2n

=

n

2n

，
∴令S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴S_n=2-

n+2

2n

＜2．故b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．