Question

数列{a_n}的首项a1=a≠

1

4

，且an+1=

1 2 an，n为偶数 an+ 1 4 ，n为奇数.

，记bn=a2n-1-

1

4

，n=1，2，3，…
（1）求a₂，a₃；
（2）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论．
（3）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）把n=1，2分布代入到已知递推公式即可求解
（2）由已知递推公式先求出b1=a1-

1

4

=a-

1

4

≠0，b2=a3-

1

4

=

1

2

(a-

1

4

)，b3=a5-

1

4

=

1

4

(a-

1

4

)，
从而猜想，{b_n}是公比为

1

2

的等比数列，然后利用等比数列的定义进行证明即可
（3）由已知递推公式，结合等差数列与等比数列的通项公式，分n为奇数和偶数两种情况分布进行求解

解答：（1）解：由题意可得，a2=a1+

1

4

=a+

1

4

，a3=

1

2

a2=

1

2

a+

1

8

（2）证明：因为a4=a3+

1

4

=

1

2

a+

3

8

，
所以a5=

1

2

a4=

1

4

a+

3

16

．
所以b1=a1-

1

4

=a-

1

4

≠0，b2=a3-

1

4

=

1

2

(a-

1

4

)，b3=a5-

1

4

=

1

4

(a-

1

4

)．
猜想，{b_n}是公比为

1

2

的等比数列．证明如下：
因为bn+1=a2n+1-

1

4

=

1

2

a2n-

1

4

=

1

2

(a2n-1+

1

4

)-

1

4

=

1

2

(a2n-1-

1

4

)=

1

2

bn，(n∈N*)
所以{b_n}是首项为a-

1

4

，公比为

1

2

的等比数列．
（3）解：由已知递推公式可得，a2n-1=(a-

1

4

)(

1

2

)n-1+

1

4

，
a2n=(a-

1

4

)(

1

2

)n-1+

1

2

综上可得，a_n=

(a- 1 4 )( 1 2 ) n-1 2 + 1 4 ，n为奇数 (a- 1 4 )( 1 2 ) n-2 2 + 1 2 ，n为偶数

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，等比数列的定义在数列的证明中的应用及等差数列与等比数列的通项公式的应用．