Question

设f(x)=2x²+1,且a、b同号,a+b=1,证明对任意实数p、q恒有af(p)+bf(q)≥f(ap+bq)成立,并说明等号成立的条件.

Answer 1

证明:∵f(x)=2x²+1,

∴af(p)+bf(q)-f(ap+bq)=a(2p²+1)+b(2q²+1)-［2(ap+bq)²+1］

=2ap²+2bq²-2a²p²-4abpq-2b²q²+a+b-1.

又a+b=1,∴a+b-1=0.

∵af(p)+bf(q)-f(ap+bq)=2ap²-2a²p²+2bq²-2b²q²-4abpq

=2a(1-a)p²+2b(1-b)q²-4abpq=2abp²+2abq²-4abpq=2ab(p-q)².

∵a、b同号,∴2ab(p-q)²≥0,当且仅当p=q时等号成立.

∴af(p)+bf(q)≥f(ap+bq),当且仅当p=q时等号成立.