Question

已知a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明：数列{lg（1+a_n）}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

1

an

+

1

an+2

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知an+1=

a

2 n

+2an，化为an+1+1=(an+1)2，由于a_n+1＞1，两边取对数得 lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），即可转化为等比数列，进而得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答：（1）证明：由已知an+1=

a

2 n

+2an，∴an+1+1=(an+1)2，
∵a₁=2，∴a_n+1＞1，两边取对数得 lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），即

lg(1+an+1)

lg(1+an)

=2，
∴{lg（1+a_n）}是公比为2的等比数列．
∴lg(1+an)=2n-1•lg(1+a1)=2n-1•lg3=lg32n-1，
∴1+an=32n-1（*）．
 由（*）式得an=32n-1-1．
（2）∵an+1=

a

2 n

+2an，
∴a_n+1=a_n（a_n+2），
∴

1

an+1

=

1

2

(

1

an

-

1

an+2

)，
∴

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，
又bn=

1

an

+

1

an+2

，
∴bn=2(

1

an

-

1

an+1

)．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=2(

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

)
=2(

1

a1

-

1

an+1

)．
∵an=32n-1-1，a1=2，an+1=32n-1，
∴Sn=1-

2

32n-1

．

点评：熟练掌握利用取对数法把已知转化为等比数列问题求解、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”法等是解题的关键．