题目内容
设x＞0，y＞0，z＞0，且x2+y2+z2=1．（Ⅰ）求证：xy+yz+xz≤1；
（Ⅱ）求（
）2的最小值．
【答案】分析：（Ⅰ）利用重要不等式x2+y2≥2xy，通过同向不等式可加性，直接求证：xy+yz+xz≤1；
（Ⅱ）利用
≥2z2；
≥2y2；
≥2x2，推出（
）2的不等关系，利用已知条件即可求出表达式的最小值．
解答：解：（Ⅰ）证明：因为x2+y2≥2xy；
y2+z2≥2yz；
x2+z2≥2xz；
所以x2+y2+z2≥xy+yz+xz；
故xy+yz+xz≤1，
当且仅当x=y=z时取等号；---------------------（6分）
（Ⅱ）因为
≥2z2；
≥2y2；
≥2x2
所以
+
≥x2+y2+z2=1；
而（
）2=
+
+2（x2+y2+z2）≥3
所以（
）2≥3，当且仅当x=y=z时取等号；
故当x=y=z=
时，（
）2的最小值为3．------------（14分）
点评：本题考查不等式的证明方法综合法的应用，重要不等式的应用，考查分析问题与解决问题的能力．
（Ⅱ）利用
≥2z2；
≥2y2；
≥2x2，推出（
）2的不等关系，利用已知条件即可求出表达式的最小值．解答：解：（Ⅰ）证明：因为x2+y2≥2xy；
y2+z2≥2yz；
x2+z2≥2xz；
所以x2+y2+z2≥xy+yz+xz；
故xy+yz+xz≤1，
当且仅当x=y=z时取等号；---------------------（6分）
（Ⅱ）因为
≥2z2；
≥2y2；
≥2x2所以
+
≥x2+y2+z2=1；而（
）2=
+
+2（x2+y2+z2）≥3所以（
）2≥3，当且仅当x=y=z时取等号；故当x=y=z=
时，（
）2的最小值为3．------------（14分）点评：本题考查不等式的证明方法综合法的应用，重要不等式的应用，考查分析问题与解决问题的能力．
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的大小；
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