Question

设x＞0，y＞0，z＞0，
（Ⅰ）比较

x2

x+y

与

3x-y

4

的大小；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：

x3

x+y

+

y3

y+z

+

z3

z+x

≥

xy+yz+zx

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对两个解析式作差，对差的形式进行化简整理，判断出差的符号，得出两数的大小．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）类比出一个结论，利用综合法证明不等式即可．

解答：（Ⅰ）∵

x2

x+y

-

3x-y

4

=

(x-y)2

4(x+y)

≥0，∴

x2

x+y

≥

3x-y

4

．（5分）
（Ⅱ）由（1）得

x3

x+y

≥

3x2-xy

4

．
类似的

y3

y+z

≥

3y2-yz

4

，

z3

z+x

≥

3z2-zx

4

，（7分）
又x2+y2+z2-(xy+yz+zx)=

1

2

[(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2]≥0；
∴x²+y²+z²≥xy+yz+zx（9分）（另证：x²+y²≥2xy，y²+z²≥2yz，z²+x²≥2zx，三式相加）．
∴

x3

x+y

+

y3

y+z

+

z3

z+x

≥

3x2-xy+3y2-yz+3z2-zx

4

=

3(x2+y2+z2)-xy-yz-zx

4

≥

3(xy+yz+zx)-xy-yz-zx

4

=

xy+yz+zx

2

（12分）

点评：本题考查综合法与分析法，解题的关键是根据（I）类比出一个条件作为证明的前提．再利用综合法证明，正确理解综合法与分析法的原理与作用，顺利解题很关键．