Question

已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R).

（1）若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；

（2）当a≤0时，求f(x)的单调区间。

 

Answer 1

（1）；（2）当a≤0时，f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递增.

【解析】

试题分析：（1）因为f（x）=ax2－(2a＋1)x＋2lnx，所以f′(x)＝ax?(2a+1)+．因为曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，所以f′（1）=f′（3）．由此能求出实数a．

（2）因为函数f（x）的定义域是（0，+∞），且f′（x）=，再由实数a的取值范围进行分类讨论，能够求出f（x）的单调区间．

试题解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)

∵f ' (x)＝ax－(2a＋1)＋

（1）由已知函数f ' (1)＝f ' (3)a－(2a＋1)＋2＝3a－(2a＋1)＋a＝ 6分

（2）f ' (x)＝＝(x∈(0，＋∞)) 8分

①当a＝0时，f ' (x)＝，由f ' (x)＞0得0＜x＜2，由f ' (x)＜0得x＞2

∴f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减 10分

②当a＜0时，由f ' (x)＝＝0的x1＝(舍去)，x2＝2，由f ' (x)＞0的0＜x＜2，由f ' (x)＜0的x＞2

∴f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减 12分

综上：当a≤0时，f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递增 13分

考点：