Question

在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=（n∈N^*），且满足a_i（a_i-1）＜m（m为常数，且为整数）．
（1）求证：为{-1}等比数列；
（2）求m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由递推式a_n+1=（n∈N^*）的结构特点，可以转化为，即，构造得出等比数列{}
（2）通过数列{}的通项公式求出a_i（a_i-1）=（i=1，2，3，…），利用放缩法求的2≤a_i（a_i-1）≤3，故m的最小值为3．
解答：解：（1）由a_n+1=（n∈N^*），得，即，
又=，
所以数列{}是首项为，公比为的等比数列，
（2）由（1）得==-，
∴a_n=，故a_i（a_i-1）=（i=1，2，3，…）
当i≥2时，a_i（a_i-1）=＜==-，
故a_i（a_i-1）=+=3-＜3，
又a_i（a_i-1）=≥=2，
故m的最小值为3．
点评：本题考查数列的递推公式和通项公式，不等式恒成立问题，考查转化构造、放缩的解题和证明方法．