Question

在数列{a_n}中，已知a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，b_n+2=3log 

1

4

a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）设cn=

3

bn•bn+1

，S_n是数列{c_n}的前n项和，求使Sn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

an+1

an

=

1

4

，易知数列{a_n}是公比为

1

4

的等比数列，又a₁=

1

4

，通项公式即求．
（Ⅱ）b_n=3log 

1

4

a_n-2=3n-2，利用定义证明即可
（Ⅲ）cn=

3

bn•bn+1

=

3

(3n-2)(3n+1)

=

1

3n-2

-

1

3n+1

．裂项后求得Sn=1-

1

3n+1

须Sn的最大值小于

m

20

．

解答：解：（Ⅰ）∵

an+1

an

=

1

4

，∴数列{a_n}是公比为

1

4

的等比数列，又a₁=

1

4

，所以数列{a_n}的通项公式为a_n=(

1

4

)n．
（Ⅱ）b_n=3log 

1

4

a_n-2=3n-2，b_n+1-b_n=3n+1-（3n-2）=3，所以数列{b_n}是首项b1=1，公差d=3的等差数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知cn=

3

bn•bn+1

=

3

(3n-2)(3n+1)

=

1

3n-2

-

1

3n+1

所以Sn=(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

7

)+…(

1

3n-2

-

1

3n+1

)=1-

1

3n+1

…..（11分）
因此，使得1-

1

3n+1

＜

m

20

(n∈N*)成立的m须且仅须满足1≤

m

20

，即m≥20，满足要求的最小整数m为20．

点评：本题主要考查了数列的递推公式在求解数列的通项公式中的应用及等比数列的通项公式、裂项求和方法的应用，不等式恒成立参数求解．属于中档综合题．