题目内容
【题目】（A）已知数列
满足
，其中
， 
.
（1）求
， 
， 
，并猜想
的表达式（不必写出证明过程）；
（2）由（1）写出数列
的前
项和
，并用数学归纳法证明.
（B）已知数列
的前
项和为
，且满足
， 
.
（1）猜想
的表达式，并用数学归纳法证明；
（2）设
， 
，求
的最大值.
【答案】（A）（1）详见解析;（2）详见解析.（B）（1）详见解析;（2）
.
【解析】试题分析:（A）（1）利用
的递推关系得到
，从而求得
，由此猜想
.（2）由于
是等比数列，利用前
项和公式可得
的表达式，然后利用数学归纳法的证明过程证明结论. （B）（1）利用
，和
的递推关系，可求得
的值，由此猜想
.然后利用数学归纳法的证明过程证明结论. （2）利用
，可求得
的通项公式，代入
并化简，利用函数的单调性可求得其最大值.
试题解析：
（A）解（1）由题意， 
， 
， 
，
则
， 
， 
，
猜想得： 
.
（2）由（1），数列
是以4为首项，公比为2的等比数列，
则有
，
证明：当
时， 
成立，
假设当
时，有
，
则当
时， 
，
综上有
成立.
（B）（1）
，
由
，得
，
由
，得
，
猜想得： 
，
证明：当
时， 
成立，
假设当
时，有
，
则当
时， 
， 
.
综上， 
成立.
（2）由（1），
时， 
，
当
时， 
满足止式，
所以
，则
， 
，
设
，则有
在
上为减函数，在
上为增函数，因为
，且
，所以当
或
时， 
有最大值
.
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