Question

在某批次的某种灯泡中，随机地抽取个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.

寿命（天）	频数	频率
合计

（1）根据频率分布表中的数据，写出、的值；
（2）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求的最小值；
（3）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了个进行使用，若以上述频率作为概率，用表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求的分布列和数学期望.

Answer 1

（1），；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）根据频数之和为以及频率之和为分别求出、的值；（2）先确定灯泡中优等品、正品、次品的个数，计算三者之间的比例，从而确定灯泡数的表达式，进而确定的最小值；（3）先确定随机变量的可能取值，根据题中条件确定在不同取值下的概率，并列出相应的分布列，求出数学期望.
试题解析：（1），.
（2）由表可知：灯泡样品中优等品有个，正品有个，次品有个，
所以优等品、正品和次品的比例为.
所以按分层抽样法，购买灯泡数，
所以的最小值为；
（3）的所有取值为.
由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为，
从本批次灯泡中购买个，可看成次独立重复试验，
所以，
，
，
.
所以随机变量的分布列为：
所以的数学期望.
（注：写出，，、、、.请酌情给分）