Question

如图，设M点是圆C：x²+（y-4）²=4上的动点，过点M作圆O：x²+y²=18的两条切线，切点分别为A，B，切线MA，MB分别交x轴于D，E两点。
（1）求四边形MAOB面积的最小值；
（2）是否存在点M，使得线段DE被圆C在点M处的切线平分？若存在，求出点M的纵坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）面积最小值为；
（2）设存在点M（x₀，y₀）满足条件，
设过点M且与圆O相切的直线方程为：，
则由题意得，，化简得：，
设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，则
圆C在点M处的切线方程为，
令y=0，得切线与x轴的交点坐标为，
又得D，E的坐标分别为，
由题意知，
用韦达定理代入可得，，与联立，得。