Question

如图，A，B是椭圆C：的左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，已知椭圆的离心率为e，右准线l的方程为x=m．
（1）若，m=4，求椭圆C的方程；
（2）设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交MB于Q，若直线PQ恰过原点，求e．

Answer 1

解：（1）由题意：，解得．∴椭圆C的方程为． …（6分）
（2）设，
∵A，M，P三点共线，∴，∴，…（9分）
∴=，
∴c²+ac-a²=0
∴e²+e-1=0，解得．…（16分）
分析：（1）由，右准线l的方程为x=4，建立方程组，求得几何量，从而可求椭圆的方程；
（2）根据题意，可得A，M，P三点共线，MQ⊥PQ，由此可得几何量之间的关系，从而可求离心率．
点评：本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．