Question

如图，两点分别在射线OS、OT上移动，且O为坐标原点，动点P满足

   （Ⅰ）求m?n的值；

   （Ⅱ）求点P的轨迹C的方程，并说明它表示怎么样的曲线；

（Ⅲ）若直线l过点E（2，0）交（Ⅱ）中曲线C于M、N两点（M、N、E三点互不相同），且求l的方程.

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得

（Ⅱ）设P点坐标为（x,y）（x>0），由得

 

可得

 

∴P点的轨迹方程为

它表示以坐标原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线

的右支

（Ⅲ）设直线l的方程为，将其代入C的方程得

即

易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）

又△144t²－36

设

∵l与C的两个交点M，N在y轴右侧

，

又∵t=0不合题意

又由同理可得

由

由

由

消去

解之得：，满足

故所求直线l存在，其方程为：