Question

17．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．
（Ⅰ）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；
（Ⅱ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为$s_1^2$，$s_2^2$，试比较$s_1^2$与$s_2^2$的大小（只需直接写出结果）；
（Ⅲ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．（注：成绩大于等于75分为优良）

Answer 1

分析 （Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为$\overline{x_1}，\overline{x_2}$．利用茎叶图能求出该班男、女生国学素养测试的平均成绩．
（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差．
（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，男生按成绩由低到高依次编号为a₁，a₂，a₃，a₄，女生按成绩由低到高依次编号为b₁，b₂，b₃，b₄，b₅，b₆，由此利用列举法能求出这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．

解答 解：（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为$\overline{x_1}，\overline{x_2}$．
则$\overline{x_1}=\frac{64+76+77+78}{4}=73.75$…．（2分）
$\overline{x_2}=\frac{56+79+76+70++88+87}{6}=76$…．
∴该班男、女生国学素养测试的平均成绩分别为73.75，76．（4分）
（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差．…．（7分）
（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，…．（8分）
男生按成绩由低到高依次编号为a₁，a₂，a₃，a₄，
女生按成绩由低到高依次编号为b₁，b₂，b₃，b₄，b₅，b₆，
则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法    …．（10分）
（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），（a₁，b₄），（a₁，b₅），（a₁，b₆），（a₂，b₁），
（a₂，b₂），（a₂，b₃），（a₂，b₄），（a₂，b₅），（a₂，b₆），（a₃，b₁），（a₃，b₂），
（a₃，b₃），（a₃，b₄），（a₃，b₅），（a₃，b₆），（a₄，b₁），（a₄，b₂），（a₄，b₃），
（a₄，b₄），（a₄，b₅），（a₄，b₆），
其中两名同学均为优良的取法有12种取法…．（12分）
（a₂，b₃），（a₂，b₄），（a₂，b₅），（a₂，b₆），（a₃，b₃），（a₃，b₄），（a₃，b₅），
（a₃，b₆），（a₄，b₂），（a₄，b₃），（a₄，b₄），（a₄，b₅），（a₄，b₆），
所以$P（A）=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$，
即两名同学成绩均为优良的概率为$\frac{1}{2}$．…．（13分）

点评 本题考查茎叶图的应用和概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．