Question

9．某公司对新研发的一种产品进行试销，得到如表数据及散点图：

利润x（元/kg）	10	20	30	40	50	60
年销量y（kg）	1150	643	424	262	165	86
Z=2ln（y）	14.1	12.9	12.1	11.1	10.2	8.9

其中z=2ln（y），$\overline x=35，\;\;\overline y=455，\;\;\;\overline z=11.55$$\sum_{i=1}^{i=6}{（{x_i}}-\overline x{）^2}=1750$，$\sum_{i=1}^{i=6}{（{x_i}}-\overline x）•（{y_i}-\overline y）=-34580$，$\sum_{i=1}^{i=6}{（{x_i}}-\overline x）•（{z_i}-\overline z）=-175.5$，${\sum_{i=1}^{i=6}{（{{y_i}-\overline y}）}^2}=776840$，$\sum_{i=1}^{i=6}{（{{y_i}-\overline y}）}•（{{z_i}-\overline z}）=3465.2$
（Ⅰ）根据散点图判断，y与x、z与x哪一对具有较强线性相关性？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）
（Ⅲ）利润为多少元/kg时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），…（x_n，y_n），其回归直线$\overline{y}$=$\stackrel{∧}{a}$+
$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^{i=n}{（{{x_i}-\overline x}）•（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^{i=n}{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^{i=n}{{x_i}•{y_i}-n•\overline x\overline{•y}}}}{{\sum_{i=1}^{i=n}{{x_i}^2-n•{{\overline x}^2}}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb•\overline x$

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据散点图得出，z与x对应的散点图基本都在一条直线附近，线性相关性更强些；
（Ⅱ）根据公式计算出回归方程的系数，即可写出回归方程；
（Ⅲ）根据回归方程求出年利润函数p=xy，利用导数求出函数p取最大值时x的值即可．

解答 解：（Ⅰ）根据散点图判断，z与x对应的散点图基本都在一条直线附近，
相对y与x具有较强的线性相关性；
（Ⅱ）∵$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{i=6}{（x}_{i}-\overline{x}）•{（z}_{i}-\overline{z}）}{{\sum_{i=1}^{i=6}{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=$\frac{-175.5}{1750}$≈-0.10，
∴$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{z}$-$\stackrel{∧}{b}$•$\overline{x}$=11.55-（-0.10）×35=15.05≈15，
即z关于x的回归方程是z=-0.10x+15；
（Ⅲ）∵z=2lny，
∴y=${e}^{\frac{z}{2}}$=${e}^{\frac{-0.10x+15}{2}}$，
∴年利润函数p=xy=x•${e}^{\frac{-0.10x+15}{2}}$，
求导得p′=${e}^{\frac{-0.10x+15}{2}}$（1-$\frac{0.10}{2}$x），
令p′=0，解得x=20；
∴当0＜x＜20时，P′＞0，函数p是单调增函数，
当x＞20时，P′＜0，函数p是单调减函数，
∴当x=20时年利润函数p的值最大，
即利润为20元/kg时，年利润的预报值最大．

点评 本题考查了求线性回归方程的应用问题，也考查了导数的简单应用问题，是综合性题目．