题目内容

设实系数一元二次方程x²+ax+2b-2=0有两个相异实根，其中一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，则 $数学公式$ 的取值范围是________．

$\text{[math]}$
分析：要求的式子化为1+ $\text{[math]}$ ，表示点（a，b）与点（1，4）连线的斜率再加上1．由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ，画出可行域，求出点A和点B的坐标，根据函数z= $\text{[math]}$ 表示可行域里面的点（a，b）
与点p（1，4）的斜率的大小，求出z的范围，可得z+1的范围，即为所求．
解答：

解： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ ，表示点（a，b）与点（1，4）连线的斜率再加上1，
实系数一元二次方程x²+ax+2b-2=0有两个相异实根，f（x）=x²+ax+2b-2，图象开口向上，对称轴为x=- $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ，画出可行域，如图所示：
由 $\text{[math]}$ 求得点A的坐标为（-1，1），由 $\text{[math]}$ 求得点B的坐标为（-3，2）．
设目标函数z= $\text{[math]}$ ，表示可行域里面的点（a，b）与点p（1，4）的斜率的大小，
∴z_min=k_AP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；z_max=k_BP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ≤z≤ $\text{[math]}$ ．再由于点A和点B不在可行域内，故有 $\text{[math]}$ ＜z＜ $\text{[math]}$ ．

∴1+ $\text{[math]}$ 的范围为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
故答案为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
点评：此题主要考查函数的零点的判定定理，还考查了简单线性和规划问题，要分析 $\text{[math]}$ 的几何的意义，属于中档题．