Question

设实系数一元二次方程x²+ax+2b-2=0有两个相异实根，其中一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，则

b-4

a-1

的取值范围是

（

1

2

，

3

2

）

．

Answer 1

分析：由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x₁＜2＜x₂，结合对应二次函数性质得到 然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析

b-4

a-1

的几何意义，然后数形结合即可得到结论．

解答：解：实系数一元二次方程x²+ax+2b-2=0有两个相异实根，f（x）=x²+ax+2b-2，图象开口向上，对称轴为x=-

a

2

，
∴

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

可得

2b-2＞0 1+a+2b-2＜0 4+2a+2b-2＞0

，
画出可行域：

A点坐标为

b=1 a+2b-1=0

解得A（-1，1）；
B点坐标为

a+b+1=0 a+2b-1=0

解得B（-3，2）；
设目标函数z=

b-4

a-1

，表示可行域里面的点（a，b）与点p（1，4）的斜率的大小，
z_min=k_AP=

4-2

4

=

1

2

；
z_max=k_BP=

4-1

1+1

=

3

2

，
∴

1

2

≤z≤

3

2

，
∴

b-4

a-1

的取值范围是（

1

2

，

3

2

）；

点评：此题主要考查函数的零点的判定定理，还考查了简单线性和规划问题，要分析

b-4

a-1

的几何的意义，是一道基础题；