Question

设实系数一元二次方程x²+ax+2b-2=0有两个相异实根，其中一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，则

a+b-5

a-1

的取值范围是

(

3

2

，

5

2

)

．

Answer 1

分析：要求的式子化为1+

b-4

a-1

，表示点（a，b）与点D（1，4）连线的斜率再加上1．由

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

画出可行域，
求出点A和点B的坐标，根据函数z=

b-4

a-1

表示可行域里面的点（a，b）与点D（1，4）的斜率的大小，
求出z的范围，可得z+1的范围，即为所求．

解答：解：

a+b-5

a-1

=

a-1+b-4

a-1

=1+

b-4

a-1

，表示点（a，b）
与点D（1，4）连线的斜率再加上1，
实系数一元二次方程x²+ax+2b-2=0有两个相异实根，
f（x）=x²+ax+2b-2，图象开口向上，对称轴为x=-

a

2

，
由

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

 可得

2b-2＞0 1+a+2b-2＜0 4+2a+2b-2＞0

，画出可行域，
如图阴影部分所示：
由

b-1=0 a+2b-2=0

 求得点A的坐标为（-1，1），
由

a+b+1=0 a+2b-1=0

求得点B的坐标为（-3，2）．
设目标函数z=

b-4

a-1

，表示可行域里面的点（a，b）
与点D（1，4）的斜率的大小，
∴z_min=K_AD=

4-2

4

=

1

2

；z_max=K_BD 

4-1

1+1

=

3

2

，∴

1

2

≤z≤

3

2

．
再由于点A和点B不在可行域内，故有

1

2

＜z＜

3

2

．
∴1+

b-4

a-1

的范围为（

3

2

，

5

2

），
故答案为 （

3

2

，

5

2

）．

点评：此题主要考查函数的零点的判定定理，还考查了简单线性和规划问题，要分析

b-4

a-1

的几何的意义，属于中档题．