Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知中三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，D是棱B₁C₁的中点，可证得CC₁⊥A₁D，A₁D⊥B₁C₁，结合线面垂直的判定定理可得A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AC，AA₁为x，y，z轴方向建立直角坐标系A-xyz，求出平面A₁DC的法向量和平面ACC₁A₁的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角D-A₁C-A的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）证明：因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，
所以AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，
所以AA₁⊥平面ABC，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱．
因为A₁D?平面A₁B₁C₁，所以CC₁⊥A₁D，
又因为A₁B₁=A₁C₁，D为B₁C₁中点，
所以A₁D⊥B₁C₁．
因为CC₁∩B₁C₁=C₁，
所以A₁D⊥平面BB₁C₁C．--------（6分）
（Ⅱ）因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA₁两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A-xyz．
设AB=1，则C(0，1，0)， B(1，0，0)， A1(0，0，1)， D(

1

2

，

1

2

，1).

A1D

=(

1

2

，

1

2

，0)， 

A1C

=(0，1，-1)，
设平面A₁DC的法向量为

n

=(x，y，z)，则有

n •A1D=0 n •A1C=0

，

x+y=0 y-z=0

，x=-y=-z，
取x=1，得

n

=(1，-1，-1)．
又因为|

n • AB

| n || AB |

|=

1

3

=

3

3

，AB⊥平面ACC₁A₁，
所以平面ACC₁A₁的法向量为     

AB

=(1，0，0)，因为二面角D-A₁C-A是钝角，
所以，二面角D-A₁C-A的余弦值为-

3

3

．-------------（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，（1）的关键是熟练掌握直三棱柱的几何特征及线面垂直的判定定理，（2）的关键是求出平面A₁DC的法向量和平面ACC₁A₁的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题．