Question

平行四边形ABCD中，AB=2，AD=2

2

，且∠BAD=45°，以BD为折线，把△ABD折起，使平面ABD⊥平面CBD，连AC．
（Ⅰ）求证：AB⊥DC       
（Ⅱ）求二面角B-AC-D平面角的大小；
（Ⅲ）求四面体ABCD外接球的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABD中，利用余弦定理，可得BD，从而可得AB⊥BD，根据平面ABD⊥平面CBD，可得AB⊥平面CBD，从而可得AB⊥DC；       
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ABC的法向量

n

=(1，1，0)，平面DAC的法向量

n′

=(1，0，-1)，利用向量的夹角公式，可得二面角B-AC-D平面角的大小；
（Ⅲ）根据△ABC，△ADC均为直角三角形，可得四面体ABCD的外接球球心是AC的中点，从而可求四面体ABCD外接球的体积．

解答：（Ⅰ）证明：在△ABD中，∵AB=2，AD=2

2

，BD²=AB²+AD²-2AB×AD×cos45°=4，∴BD=2，
∴AD²=AB²+BD²，∴AB⊥BD，
∵平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD=BD
∴AB⊥平面CBD，
∵DC?平面CBD，
∴AB⊥DC；       
（Ⅱ）解：在四面体ABCD中，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的射线为z轴，建立如图空间直角坐标系．

则D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）
设平面ABC的法向量为

n

=(x，y，z)
∵

BA

=(0，0，2)，

BC

=(-2，2，0)
∴

2z=0 -2x+2y=0

，∴取

n

=(1，1，0)
设平面DAC的法向量为

n′

=(x′，y′，z′)
∵

DA

=(2，0，2)，

DC

=(0，2，0)
∴

2x+2z=0 2y=0

，∴取

n′

=(1，0，-1)
∴cos＜

n

，

n′

＞=

n • n′

| n || n′ |

=

1

2

∴二面角B-AC-D平面角的大小为60°；
（Ⅲ）解：由于△ABC，△ADC均为直角三角形，故四面体ABCD的外接球球心是AC的中点
∵AC=2

3

，∴R=

3

∴四面体ABCD外接球的体积为

4

3

×π×(

3

)3=4

3

π．

点评：本题考查面面垂直，考查线面垂直，考查面面角，考查四面体ABCD外接球的体积，考查利用向量的方法解决面面角问题，确定平面的法向量是关键．