Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，FE的延长线交DC的延长线于点G，设BE=x，△DEF的面积为S．
（1）求证：△BEF∽△CEG；
（2）求用x表示S的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）要证明△BEF∽△CEG，只需要证明∠BFG=∠G，且∠BEF=∠CEG，即可；
（2）由（1）知DG为△DEF中EF边上的高，在Rt△BFE中，∠B已知，EF可求；在Rt△CEG中，CE=3-x，则GC可求，
∴DG=GC+CD可求，∴△DEF的面积S可表示出来；
（3）函数S是二次函数，二次项系数a=-

3

8

＜0，对称轴x=

11

2

，易得x=3时，S取最大值，是3

3

．

解答：（1）证明：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴EF⊥DG．∴∠BFG=∠G=90°．
又∵∠BEF=∠CEG，∴△BEF∽△CEG；
（2）解：由（1）得DG为△DEF中EF边上的高，设BE=x，
在Rt△BFE中，∠B=60°，EF=BEsinB=

3

2

x．
在Rt△CEG中，CE=3-x，GC=(3-x)cos60°=

3-x

2

，∴DG=DC+GC=

11-x

2

，
∴S=

1

2

EF•DG=-

3

8

x2+

11 3

8

x，（其中0＜x≤3）；
（3）解：∵a=-

3

8

＜0，对称轴x=

11

2

＞3，∴当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，
所以，当x=3时，即E与C重合时，取最大值：Smax=3

3

．

点评：本题考查了相似三角形的证明，三角形的面积公式应用和求二次函数在某一区间上的最值问题，属于中档题．