Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n表示数列{a_n}的前n项的和，且2S_n=a

2 n

+a_n．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设b_n=a_n•2 an，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）首先利用递推关系求出数列的通项公式，
（2）利用（1）的结论进一步利用乘公比错位相减法求数列的和．

解答： 解：（1）2S1=

a

2 1

+a1
∴a₁=1，
当n≥2时，2an=2Sn-2Sn-1=

a

2 n

+an-

a

2 n-1

-an-1
又∵a_n＞0，
∴a_n=a_n-1+1，
∴{a_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
故：a_n=a₁+（n-1）d
=n．
（2）由题意可设：Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2ⁿ，
2Tn=1×22+2×22+…+n×2 n+1，
则：Tn=(n-1)2n-1+2．

点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，乘公比错位相减法的应用，属于基础题型．