Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=1，点D是AC₁的中点．
（1）求证：BD⊥平面AB₁C；
（2）求二面角C-AB₁-C₁的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，证明，可得BD⊥AC，BD⊥AB₁，从而可得BD⊥平面AB₁C．
（2）求出平面AB₁C₁的一个法向量，平面AB₁C的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角C-AB₁-C₁的余弦值；
解法二：（1）分别取AC、AB₁中点E、F，连结DE，BE，BF，DF，证明BD⊥AC，BD⊥AB₁，利用线面垂直的判定定理，即可得到结论；
（2）连结CF，证明∠DFC为二面角C-AB₁-C₁的平面角，在△DFC中，利用余弦定理可求二面角C-AB₁-C₁的余弦值．
解答：解法一：（1）建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，如图，
则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B₁（0，0，1），C₁（0，1，1），D（．
则，．
∴．
∴BD⊥AC，BD⊥AB₁，且AC∩AB₁=A．
∴BD⊥平面AB₁C．
（2）设平面AB₁C₁的一个法向量为
∴
∴
即有
令x=1，得
由（1）可知是平面AB₁C的法向量
．
即二面角C-AB₁-C₁的余弦值为．
解法二：
（1）分别取AC、AB₁中点E、F，连结DE，BE，BF，DF，
∵D、F是AC₁、AB₁的中点，则DE∥CC₁，DF∥B₁C₁
∵CC₁⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC．
则BE是BD在平面ABC内的射影．
∵AB=BC，∴BE⊥AC．
∴BD⊥AC
∵B₁C₁⊥BB₁，B₁C₁⊥A₁B₁，BB₁∩A₁B₁=B₁
∴B₁C₁⊥平面ABB₁
∴DF⊥平面ABB₁
则BF是BD在平面ABB₁内的射影．
∵AB=BB₁，∴BF⊥AB₁．
∴BD⊥AB₁．
又AC∩AB₁=A，
∴BD⊥平面AB₁C．
（2）连结CF．
由（1）知，DF⊥平面ABB₁，∴DF⊥AB₁
∵，∴CF⊥AB₁．
则∠DFC为二面角C-AB₁-C₁的平面角．
在△DFC中，，
则．
即二面角C-AB₁-C₁的余弦值为．
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量知识的运用，属于中档题．