Question

（2012•江西模拟）如图，把边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE折起，使|AC|=

6

．
（1）求证：面ABEF⊥面BCDE；
（2）求五面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析：（1）设原正六边形中，AC∩BE=O，DF∩BE=O'，证明DF⊥BE，证明OA⊥OC，然后证明面ABEF⊥面BCDE；
（2）说明AOC-FO'D是侧棱长（高）为2的直三棱柱，通过V_ABCDEF=2V_B-AOC+V_AOC-FO'D求出体积．

解答：解：（1）设原正六边形中，AC∩BE=O，DF∩BE=O'，
由正六边形的几何性质可知OA=OC=

3

，AC⊥BE，DF⊥BE…（2分）
∵

OA2+OC2=AC2=6⇒OA⊥OC OA⊥OB OA?面ABEF

，
∴OA⊥面BCDE，
∴面ABEF⊥面BCDE；
（2）由BE⊥面AOC，BE⊥面FO'D知，面AOC∥面FO'D，故AOC-FO'D是侧棱长（高）为2的直三棱柱，
且三棱锥B-AOC和E-FO'D为大小相同的三棱锥…（9分）
∴V_ABCDEF=2V_B-AOC+V_AOC-FO'D=2•

1

3

•

1

2

(

3

)2•1+

1

2

(

3

)2•2…（11分）
=4…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．