Question

13．如图，在Rt△ABC中，AC=BC，PA⊥平面ABC，PB与平面ABC成60°角
（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；
（2）求二面角C-PB-A的正切值．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥PA，然后证明BC⊥平面PAC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面PBC⊥平面PAC；
（2）取AB的中点D，过D作DE⊥PB交PB于E，连接CE，说明∠CED就是二面角C-PB-A的平面角，通过在Rt△CDE中，求出二面角C-PB-A的正切值．

解答 （1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC证明：
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA，
又∵BC⊥AC，且AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC，而BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC；
（2）解：取AB的中点D，过D作DE⊥PB交PB于E，连接CE，
∵PA⊥平面ABC，
∴平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，而PB?平面PAB，
∴PB⊥CD，∴∠CED就是二面角C-PB-A的平面角，
令AC=2，则BC=2，在Rt△ABC中，AC=BC，∴AB=2$\sqrt{2}$，∴CD=$\sqrt{2}$，
又∵PB与平面ABC成60°角，PA⊥平面ABC，
∴∠PBA=60°，∴PB=4$\sqrt{2}$，PA=2$\sqrt{6}$，
易知△PAB∽△DEB，∴DE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
在Rt△CDE中，
tan∠CED=$\frac{CD}{DE}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角C-PB-A的正切值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．