Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$
（1）求f（1），f（2）+f（$\frac{1}{2}$）的值；
（2）证明：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）等于定值；
（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2015}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$，将x=1，2，$\frac{1}{2}$代入可得f（1），f（2）+f（$\frac{1}{2}$）的值；
（2）求出f（$\frac{1}{x}$）的表达式，可得f（x）+f（$\frac{1}{x}$）等于定值1；
（3）根据（2）中f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1利用分组求和法，可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$，
∴f（1）=$\frac{1}{2}$，f（2）=$\frac{4}{5}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{5}$，f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=1，
证明：（2）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$，
∴f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{（\frac{1}{x}）}^{2}}{{（\frac{1}{x}）}^{2}+1}$=$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1；
解：（3）由（2）中f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1得：
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2015}$）=f（1）+2015×1=$\frac{1}{2}$+2015=$\frac{4031}{2}$

点评 本题考查的知识点是函数求值，其中得到f（x）+f（$\frac{1}{x}$）等于定值1，是解答的关键．