Question

16．设直线l与抛物线y²=4x相交于A，B两点，与圆（x-4）²+y²=r²（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）

• A． （2，3）
• B． （2，4）
• C． $[2，2\sqrt{3}]$
• D． $（2，2\sqrt{3}）$

Answer 1

分析 先确定M的轨迹是直线x=2，代入抛物线方程可得y=±2$\sqrt{2}$，所以交点与圆心（4，0）的距离为4，即可得出结论．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
斜率存在时，设斜率为k，则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
则两式相减，得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
当l的斜率存在时，利用点差法可得ky₀=2，
因为直线与圆相切，所以$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-4}$=-$\frac{1}{k}$，所以x₀=2，
即M的轨迹是直线x=2．
将x=2代入y²=4x，得y²=8，∴-2$\sqrt{2}$＜y₀＜2$\sqrt{2}$，
∵M在圆上，∴（x₀-4）²+y₀²=r²，∴r²=y₀²+4=12，
∵直线l恰有4条，∴y₀≠0，∴4＜r²＜12，
故2＜r＜2$\sqrt{3}$时，直线l有2条；
斜率不存在时，直线l有2条；
所以直线l恰有4条，2＜r＜2$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．