Question

设、．

（1）若在上不单调，求的取值范围；

（2）若对一切恒成立，求证：；

（3）若对一切，有，且的最大值为1，求、满足的条件．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）证明见解析。

（3）且

【解析】（1）由题意，；

（2）须与同时成立，即，；

（3）因为，依题意，对一切满足的实数，有．

①当有实根时，的实根在区间内，设，所以，即，又，于是，的最大值为，即，从而．故，即，解得．

②当无实根时，，由二次函数性质知，在上的最大值只能在区间的端点处取得，所以，当时，无最大值．于是，存在最大值的充要条件是，即，所以，．又的最大值为，即，从而．由，得，即．所以、满足的条件为且．综上：且