已知数列{an}满足a1=1.an+1=$\frac{1}{2}$an+$\frac{1}{{a} {n}}$.设bn=$\frac{2}{\sqrt{{{a} {n}}^{2}-2}}$.cn=$\frac{4{a} {n}}{{{a} {n}}^{2}-2}$．(1)求证:对一切n∈N*.n≥2.an＞$\sqrt{2}$．(2)求证:对一切n∈N*.n≥2.bn与cn都是正整数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，设b_n=$\frac{2}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}-2}}$，c_n=$\frac{4{a}_{n}}{{{a}_{n}}^{2}-2}$．
（1）求证：对一切n∈N^*，n≥2，a_n＞$\sqrt{2}$．
（2）求证：对一切n∈N^*，n≥2，b_n与c_n都是正整数．

分析（1）运用数学归纳法证明，首先验证n=2的情况，假设n=k，结论成立，再由函数y=ax+$\frac{b}{x}$的性质，可证n=k+1也成立；
（2）运用数学归纳法证明，首先验证n=2的情况，假设n=k，结论成立，再结合条件，化简整理，即可得到n=k+1也成立，进而得证．

解答证明：（1）当n=2时，a₂=$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$＞$\sqrt{2}$，成立；
假设n=k时，a_k＞$\sqrt{2}$成立；
当n=k+1时，a_k+1=$\frac{1}{2}$a_k+$\frac{1}{{a}_{k}}$＞$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
则n=k+1时，也成立．
对一切n∈N^*，n≥2，a_n＞$\sqrt{2}$．
（2）当n=2时，b₂=$\frac{2}{\sqrt{{{a}_{2}}^{2}-2}}$=$\frac{2}{\sqrt{\frac{9}{4}-2}}$=4，
c₂=$\frac{4{a}_{2}}{{{a}_{2}}^{2}-2}$=$\frac{4×\frac{3}{2}}{\frac{9}{4}-2}$=24，b₂与c₂都是正整数；
假设n=k，b_k与c_k都是正整数，
即有n=k+1时，b_k+1=$\frac{2}{\sqrt{{{a}_{k+1}}^{2}-2}}$=$\frac{2}{\sqrt{（\frac{1}{2}{a}_{k}+\frac{1}{{a}_{k}}）^{2}-2}}$=$\frac{2}{\frac{1}{2}{a}_{k}-\frac{1}{{a}_{k}}}$
=$\frac{4{a}_{k}}{{{a}_{k}}^{2}-2}$=c_k为正整数，
c_k+1=$\frac{4{a}_{k+1}}{{{a}_{k+1}}^{2}-2}$=$\frac{8{a}_{k}（{{a}_{k}}^{2}+2）}{（{{a}_{k}}^{2}-2）^{2}}$=$\frac{4{a}_{k}}{{{a}_{k}}^{2}-2}$•$\frac{2（{{a}_{k}}^{2}+2）}{{{a}_{k}}^{2}-2}$
=c_k•2（1+$\frac{4}{{{a}_{k}}^{2}-2}$）=c_k•2（1+b_k²），即为正整数．
则有对一切n∈N^*，n≥2，b_n与c_n都是正整数．