Question

12．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（sin$\frac{π}{8}$，cos$\frac{π}{8}$ ），则sin（2α-$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由三角函数定义和二倍角公式可得sin2α，cos2α，sin$\frac{π}{12}$，cos$\frac{π}{12}$的值，代入两角差的正弦公式计算可得．

解答 解：由题意和三角函数的定义可得cosα=sin$\frac{π}{8}$，sinα=cos$\frac{π}{8}$，
∴sin2α=2sinαcosα=2sin$\frac{π}{8}$cos$\frac{π}{8}$=sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos2α=cos²α-sin²α=sin²$\frac{π}{8}$-cos²$\frac{π}{8}$=-cos$\frac{π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin$\frac{π}{12}$=$\sqrt{\frac{1-cos\frac{π}{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
cos$\frac{π}{12}$=$\sqrt{\frac{1+cos\frac{π}{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴sin（2α-$\frac{π}{12}$）=sin2αcos$\frac{π}{12}$-cos2αsin$\frac{π}{12}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$-（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式，属中档题．