Question

已知椭圆过点，，P（x，y）是椭圆上任一点，O是坐标原点，△PAB椭圆C的内接三角形，且O是△PAB的重心．
（1）求a、b的值，并证明AB所在的直线方程为xx+2yy+1=0；
（2）探索△PAB的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，求出它的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆过点，，能求出a、b的值．设线段AB的中点为M，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由O是△PAB的重心，能证明直线AB的方程为xx+2yy+1=0．
（2）由，得，由此能求出|AB|=|x₁-x₂|=，由此能推导出△PAB的面积为定值．
解答：解：（1）∵椭圆过点，，
∴，解得，∴，…（2分）
设线段AB的中点为M，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵O是△PAB的重心，∴，
∴直线AB的方程为y+=-（x+），
又∵，
∴直线AB的方程转化为xx+2yy+1=0，
且当直线AB的斜率不存在时，，y=0，
直线AB的方程为x=，也符合方程xx+2yy+1=0．…（6分）
（2）由，得，
∴x₁+x₂=-x，，
∴|x₁-x₂|==|y|，
|AB|=|x₁-x₂|=，
P（x，y）到xx+2yy+1=0的距离d==，
∴S_△PAB==•=，
∴△PAB的面积为定值…（12分）
点评：本题考查直线方程的求法，考查三角形面积的求法．综合性强，难度大，具有一定的探索性，对数学思想的要求较高．解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与圆锥曲线位置关系的综合应用．