Question

已知椭圆过点P（-3，

7

2

），Q（2，

3

）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A（0，4），B是椭圆上的任一点，求|AB|的最大值及此时B的坐标．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆方程mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），把点的坐标代入椭圆方程后联立方程组求解m，n的值，则椭圆的方程可求；
（2）化椭圆的普通方程为参数方程，得到B点的坐标由两点间的距离公式写出|AB|，利用配方法即可求出|AB|的最大值，且同时求出B的坐标．

解答：解：（1）设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0）．
因为椭圆过点P（-3，

7

2

），Q（2，

3

），
所以

9m+ 7 4 n=1 4m+3n=1

，解得

m= 1 16 n= 1 4

．
所以椭圆方程为

x2

16

+

y2

4

=1；
（2）由椭圆方程为

x2

16

+

y2

4

=1，
可知A（0，4）在椭圆外部，
椭圆的参数方程

x=4cosθ y=2sinθ

，
因为B为椭圆上的任一点，设B（4cosθ，2sinθ），
所以|AB|=

16cos2θ+(2sinθ-4)2

=

16cos2θ+4sin2θ-16sinθ+16

=

12cos2θ-16sinθ+20

=

-12sin2θ-16sinθ+32

=

-12(sinθ+ 2 3 )2+ 112 3

．
所以当sinθ=-

2

3

时，|AB|的最大值为

4 21

3

．
此时cosθ=-

5

3

．
则B（-

4 5

3

，-

4

3

）．

点评：本题考查了椭圆的方程，考查了椭圆的参数方程，训练了两点间的距离公式，训练了利用配方法求最值，是中档题．