Question

1．设直线x-3y+m=0（m≠0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）两条渐近线分别交于点A、B，若点P（m，0）满足（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）⊥$\overrightarrow{AB}$，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由双曲线方程求出渐近线方程，联立直线方程求出交点A、B的坐标，根据条件和向量的运算转化为：设AB的中点是C，且$\overrightarrow{PC}⊥\overrightarrow{AB}$，由斜率之积等于-1列出方程，化简后求出双曲线的离心率．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）两条渐近线分别为：$y=±\frac{b}{a}x$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{x-3y+m=0}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{ma}{3b-a}}\\{y=\frac{mb}{3b-a}}\end{array}\right.$，
则点A的坐标是（$\frac{ma}{3b-a}$，$\frac{mb}{3b-a}$），
同理可求B的坐标是（$\frac{-ma}{3b+a}$，$\frac{mb}{3b+a}$），
设AB的中点是C，则C的坐标是（$\frac{1}{2}（\frac{ma}{3b-a}+\frac{-ma}{3b+a}）$，$\frac{1}{2}（\frac{mb}{3b-a}+\frac{mb}{3b+a}）$），
因为（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）⊥$\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{PC}⊥\overrightarrow{AB}$，
因为AB的斜率是$\frac{1}{3}$，所以PC的斜率是-3，
则$\frac{\frac{1}{2}（\frac{mb}{3b-a}+\frac{mb}{3b+a}）-0}{\frac{1}{2}（\frac{ma}{3b-a}+\frac{-ma}{3b+a}）-m}$=-3，化简得a²=4b²，
所以c²=a²+b²=$\frac{5}{4}{a}^{2}$，则${e}^{2}=\frac{5}{4}$，
所以该双曲线的离心率是$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，向量的运算，以及垂直的转化，考查转化思想，属于中档题．