Question

12．已知p：函数f（x）=lg（ax²-x+$\frac{1}{16}$a）的定义域为R；   q：函数y=x²-2ax+1在（0，+∞）上有零点．
如果命题“p∨q为真，p∧q为假”，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 如果命题“p∨q为真，p∧q为假”，则命题p，q一真一假，分别求出命题p，q为真时，实数a的取值范围，进而可得答案．

解答 解：若p：函数f（x）=lg（ax²-x+$\frac{1}{16}$a）的定义域为R为真，
则ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ 1-\frac{{a}^{2}}{4}＜0\end{array}\right.$，解得：a＞2，
若q：函数y=x²-2ax+1在（0，+∞）上有零点，
则$\left\{\begin{array}{l}△=4{a}^{2}-4≥0\\{x}_{1}+{x}_{2}=2a＞0\end{array}\right.$，
解得：a≥1，
如果命题“p∨q为真，p∧q为假”，
则命题p，q一真一假，
即$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ a≥1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a＞2\\ a＜1\end{array}\right.$，
解得：a∈[1，2]

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，对数函数的图象和性质，函数的零点等知识点，难度中档．