题目内容
【题目】在正方体
中，
分别为线段
的中点，
为四棱锥
的外接球的球心，点
分别是直线
上的动点，记直线
与
所成角为
，则当最小时，
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
如图，设
分别为棱
和
的中点，则四棱锥
的外接球即三棱柱
的外接球，所以其外接球球心
为上、下底面三角形外心
和
连线的中点，
是平面
内的一条动直线，所以
的最小值是直线
与平面所成角，即问题转化为求直线与平面所成角的正切值，通过建立空间直角坐标算出直线与平面所成角的正切值即可.
如图，设分别为棱和的中点，
则四棱锥的外接球即三棱柱的外接球，
因为三棱柱为直三棱柱，
所以其外接球球心为上、下底面三角形外心和连线的中点.
由题意，是平面内的一条动直线，所以的最小值是直线与平面所成角，即问题转化为求直线与平面所成角的正切值.
不妨设正方体的棱长为2，则
.
因为
为等腰三角形，所以
外接圆的直径为
，
则
，从而
.
如图，以
为原点，以
的方向为
轴，
轴，
轴的正方向建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
，
设平面的一个法向量为
，
则
，令
，则
，
因为
，所以
，则
.
故选：D
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