Question

【题目】已知，点是圆上一动点，动点满足，点在直线上，且.

（1）求点的轨迹的标准方程；

（2）已知点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，记点到直线的距离分别为，求的最大值，并求出此时点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】

（1）由题可得是线段的垂直平分线，所以可得，由椭圆的定义可知，点轨迹是以为焦点，以4为长轴长的椭圆，即可求得方程；

（2）设，可知点处的切线的方程为，同理可得切线的方程为，故直线的方程为，表示出，，；算出，求出其最大值即可.

解：（1）由，可知为线段的中点，

又，所以是线段的垂直平分线，故.

因为点在直线上，所以.

由椭圆的定义可知，点轨迹是以为焦点，以4为长轴长的椭圆，即，

解得，

另当点坐标为时，与重合，不符合题意，故的标准方程为.

（2）设，所以曲线点处的切线的方程为，又因为切线过，所以.

同理可得，故直线的方程为.

所以.

因为直线的方程为，所以，.

又因为在直线的两侧，

所以

，

所以，

令，，

则，

当，即时，有最大值，

此时点的坐标为.