Question

（2010•衡阳模拟）如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面EBC；
（Ⅱ）求直线AB与平面EBC所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角A-EB-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证AM⊥平面EBC，关键是寻找线线垂直，利用四边形ACDE是正方形，可得AM⊥EC．利用平面ACDE⊥平面ABC，BC⊥AC，可得BC⊥平面EAC，从而有BC⊥AM．故可证
 （Ⅱ）要求直线AB与平面EBC所成的角，连接BM，根据AM⊥平面EBC，可知∠ABM是直线AB与平面EBC所成的角，故可求．           
（Ⅲ）先最初二面角A-EB-C的平面角． 再在Rt△EAB中，利用AH⊥EB，有AE•AB=EB•AH．由（Ⅱ）所设EA=AC=BC=2a可得AB=2

2

a，EB=2

3

a，∴AH=

AE•AB

EB

=

2 2 a

3

．从而可求二面角A-EB-C的平面角．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，
∴EA⊥AC，AM⊥EC．   …（1分）
∵平面ACDE⊥平面ABC，
又∵BC⊥AC，∴BC⊥平面EAC．…（3分）
∵AM?平面EAC，∴BC⊥AM． …（4分）
∴AM⊥平面EBC．  
 （Ⅱ）连接BM，
∵AM⊥平面EBC，∴∠ABM是直线AB与平面EBC所成的角．            …（5分）
设EA=AC=BC=2a，则AM=

2

a，AB=2

2

a，…（6分）
∴sin∠ABM=

AM

AB

=

1

2

，∴∠ABM=30°．
即直线AB与平面EBC所成的角为30°．   …（8分）
（Ⅲ）过A作AH⊥EB于H，连接HM．    …（9分）
∵AM⊥平面EBC，∴AM⊥EB．
∴EB⊥平面AHM．∴∠AHM是二面角A-EB-C的平面角． …（10分）
∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC．∴EA⊥AB．
在Rt△EAB中，AH⊥EB，有AE•AB=EB•AH．
由（Ⅱ）所设EA=AC=BC=2a可得AB=2

2

a，EB=2

3

a，∴AH=

AE•AB

EB

=

2 2 a

3

．             …（12分）∴sin∠AHM=

AM

AH

=

3

2

．∴∠AHM=60°．
∴二面角A-EB-C等于60°．           …（14分）

点评：本题以面面垂直为载体，考查线面垂直，考查线面角，面面角，关键是作、证、求．